從握批薩的正確姿勢到曲率

類別: 新奇

從握批薩的正確姿勢到曲率

這樣的情況我們都遇到過:你拿起一塊批薩正準備下口,批薩卻軟軟地翻過來,毫無賣相地搭在你的手指上,稍不留神還會掉下來一塊洋蔥一片臘腸。哦,你意識到餅皮的硬度還不足以支撐自身的重量,是不是下次選 topping 的時候不要這麼貪心了呢?不過即使你不貪心,同樣的情況也會出現,並且根據人類幾世紀以來吃批薩的經驗,早已總結出了握批薩的正確姿勢——把批薩向內彎成 U 形就好了。這樣的握法甚至還有專業名詞叫做“fold hold”。

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像上面那張圖一樣,手裡懸著一張紙,它會翻轉過來,可是隻要彎曲一下,它就變得穩定堅固。在它和批薩餅的“特殊技巧”背後有一個關於彎曲表面令人驚訝的數學結果,而它的發現者,就是德國的數學家高斯(Carl Friedrich Gauss)。高斯將這種現象的解釋命名為“Theorema Egregium”——拉丁文中“絕妙定理”的意思。

那一張紙,把它彎曲成圓筒形。很明顯這張紙仍然是扁平的,而圓筒是彎曲的,但高斯卻有不同看法:它想通過某種方式,明確在彎曲平面的時候的曲率。

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如果你仔細觀察一隻在圓筒表面爬行的螞蟻,你會發現這隻螞蟻路線的選擇有很多:沿著筒邊緣走,豎直向下走或是螺旋狀前進。高斯出色的想法就是,將這隻螞蟻的可選路線統統算在內。下面做一點說明:以任意點為起點,找到兩條最絕對的路線(圓筒上最凹的路線和最凸的路線)。將兩條路線的曲率相乘(凹面曲率為正,凸面為負,平面為 0 ),結果就是高斯所得出的定點的曲率。

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假定的螞蟻和路線的選擇

舉個例子,如上圖,定點上螞蟻能選擇的兩條極端路線,一是曲率最高的水平圈形路徑,一條則是垂直向下的路徑。因為豎直向下的路徑完全扁平,曲率為 0,那麼不管在哪個點上怎麼相乘最後的結果都為 0。對於這個結果,任何數學家都會說,這證明圓筒是平的,它的高斯曲率為 0,而高斯曲率為 0 也就意味著這樣的形狀可以用一張扁平的紙彎曲而成。

如果說這隻螞蟻是在一個球體表面,對它來說就沒有“平”的路線可選了,而且每條路線的曲率都相同,負負得正,球體的高斯曲率就是一個正數——球體是彎曲的,圓筒是扁平的,你可以用一張紙彎成筒狀,但永遠不能彎成球形。

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另令高斯本人連連叫好的“絕妙定理”就是說:一隻生活在某個平面上的螞蟻,在不用走出平面的情況下僅通過測量距離和計算就能得出該平面的曲率。順便提一句,這也是我們呆在這小小果殼內也能計算宇宙曲率的方式,而現在就人類所知,宇宙是平的

但絕妙定理的一個有趣的推論就是:你能拿著一個平面,將它彎曲成任意模樣,只要你不拉伸它,不擠壓收縮它或是撕碎它,它的高斯曲率都不變。因為彎曲並不能改變兩點之間的距離,所以螞蟻所選的不管是什麼路線,結果都會是一樣的。

聽起來有些抽象?下面就是現實生活中可以嘗試的例子。拿出一個橙子,切成兩半,把果肉吃掉,將兩片半球形放在地上,重重踩上去。橙子皮被踩扁後永遠不會是一個圓形,並且永遠都是破裂的。這是因為一個平面和一個半球的高斯曲率不同,你永遠都不能在不撕裂球體的情況下讓它成為平面。你嘗試過用禮品紙包裝籃球嗎?試過你會有更直觀的體驗:禮品紙在籃球外面永遠是皺巴巴的。

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另一個推論也出現了:你永遠不能精確地在一張紙上描繪地圖。我們習以為常的世界地圖正確地繪製了角度,但一些地區則嚴重扭曲失真。美國數學博物館指出,服裝設計師也會面臨類似的問題——在平面上被設計出來的圖案需要穿在人類有弧度和線條的身體上。

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地球儀上等大小的圓圈變成平面地圖上的圓圈時就會像圖中一樣 圖片來源

但這些和批薩餅有什麼關係呢?在你拿起這片批薩前,它是一個平面(從數學角度講,它的高斯曲率為 0)。高斯的絕妙定理告訴我們:不管你怎麼彎曲它,這塊批薩必須至少在一個方向上是平的。當批薩像下面圖一一樣搭下來時,紅線所指的是“平”的方向,而這樣的形狀顯然不利於大快朵頤,而像圖2一樣拿,“平”的方向則會從人的手一直延伸到批薩末尾,也就是人的嘴,你實際上限制了批薩“平”的方向,絕妙定理果然絕妙。

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彎曲某一個方向,會讓另一個方向堅固平整,當你接受了這樣的“設定”,你會注意到它無所不在。靠近觀察一棵小草的葉面,它總是在中心紋理周圍彎曲,這就是為了讓它在垂直方向更堅固,不會風一吹就倒下。

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工程師常常使用曲率來讓結構更堅固。西班牙的結構工程師 Eduardo Torroja 在設計馬德里 Zarzuela 賽道時,別出心裁地設計出了從體育場館頂一直延伸到賽道上空的水泥屋頂,而這層屋頂只有幾英寸厚,它和握批薩的現象運用的都是同一個原理。

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圖片來源:Flickr

曲度象徵堅固。想想這個:你可以單腳站在空易拉罐上,而易拉罐的厚度就和一張紙差不多。易拉罐穩定的祕密就就在於它的形狀,一個實驗可以證明:一個人站在空心易拉罐上,另一個人用一支鉛筆戳易拉罐,只需要一個極小的凹陷,易拉罐的堅固性立馬就會消失並且迅速地在人體的體重之下被壓扁。

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還有一個非常常見的例子就是建築中所用到的瓦楞(以及身邊無所不在的瓦楞紙)。拿一個紙箱,撕開,你會發現在每張硬紙板夾層裡都是波浪狀的。這就是為了讓紙箱既輕便又結實,並且在一定程度的負重下,不會被彎折。

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[keep_beating via Wired]

從握批薩的正確姿勢到曲率原文請看這裡